题目内容

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），且f（2）=1．
（1）求f（1）、f（4）的值；
（2）解不等式：f（x）+f（x-3）＞2．
分析：（1）令x=y=1，即可求得f（1）的值；再令x=y=2，利用f（2）=1即可求得f（4）的值；
（2）依题意得
x＞0
x-3＞0
x2-3x＞4
，解之即可．
解答：解：（1）依题意可得f（1）=f（1）+f（1），
解得f（1）=0；
又f（2）=1，
∴f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2；
（2）∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，f（xy）=f（x）+f（y），f（4）=2，
∴f（x）+f（x-3）＞2?f[x（x-3）]＞f（4），
∴
x＞0
x-3＞0
x2-3x＞4
，
解得：x＞4．
∴原不等式的解集为：（4，+∞）．
点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法与函数单调性的应用，考查解不等式组的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=
2x+2-x
2
，g（x）=
2x-2-x
2
，
（1）计算：[f（1）]2-[g（1）]2；
（2）证明：[f（x）]2-[g（x）]2是定值．
精英家教网已知函数f（x）=x+
a
x
的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+
2
2
．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求a的值．
（2）问：|PM|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
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已知函数f（x）=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为
1
2
的点P满足2
OP
=
OM
+
ON
（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：y1+y2为定值；
（Ⅱ）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
（Ⅲ）已知an=
1
6
，                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求m的取值范围．
已知函数f（x）=log3
3
x
1-x
，M（x1，y1），N（x2，y2）是f（x）图象上的两点，且x1+x2=1．
（1）求证：y1+y2为定值；
（2）若Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）（n∈N*，N≥2），求Sn；
（3）在（2）的条件下，若an=
1
6
 ，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
（n∈N*），Tn为数列{an}的前n项和．求Tn．
已知函数f（x）=sin（2x-
π
6
），g（x）=sin（2x+
π
3
），直线y=m与两个相邻函数的交点为A，B，若m变化时，AB的长度是一个定值，则AB的值是（　　）

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