Question

已知圆O：x²+y²=4和点M(1，a)，
(Ⅰ)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；
(Ⅱ)若a=，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求AC+BD的最大值．

Answer 1

解：(Ⅰ)由条件知点M在圆O上，
所以，，即a=±，
当a=时，点M为（1，），，
此时，切线方程为，
即；
当a=-时，点M为，
此时，切线方程为，
即；
所以，所求的切线方程为或。
(Ⅱ)设O到直线AC，BD的距离分别为，
则，
于是，
所以，，
则
，
因为，
所以，当且仅当时取等号，
所以，，
所以，，
所以，，
即AC+BD的最大值为。