Question

（2011•广州模拟）已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，且a_n+1=a_n+2a_n-1（n≥2）．
（1）设b_n=a_n+1+λa_n，是否存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）方法1：假设存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列，通过b22=b1b3以及a_n+1=a_n+2a_n-1，解得λ=1或λ=-2，λ=1，λ=-2，分别说明数列{b_n}为等比数列．
方法2：假设存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列，设

bn

bn-1

=q（n≥2），转化为a_n+1+λa_n=q（a_n+λa_n-1），就是a_n+1=（q-λ）a_n+qλa_n-1，与a_n+1=a_n+2a_n-1比较，
解得λ=1或λ=-2，存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列．
（2）解法1：由（1）知an+1+an=4×2n-1=2n+1（n≥1），当n为偶数时，当n为奇数时，分别求出数列{a_n}的前n项和．
解法2：由（1）知an+1-2an=(-1)n+1（n≥1），构造

an+1

2n+1

-

an

2n

（n≥1），通过拆项法求出{

an

2n

}的通项公式，然后求出数列的前n项和．
解法3：由（1）可知，

an+1+an=4×2n-1 an+1-2an=1×(-1)n-1.

，求出an=

1

3

[2n+1+(-1)n]，当n为偶数时，Sn=

1

3

(22+23+24+25+…+2n+2n+1)；当n为奇数时，Sn=

1

3

[(22+23+24+25+…+2n+2n+1)-1]，分别求出数列{a_n}的前n项和．

解答：（本小题满分14分）
（1）方法1：假设存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列，
则有b22=b1b3．                                     ①…（1分）
由a₁=1，a₂=3，且a_n+1=a_n+2a_n-1，得a₃=5，a₄=11．
所以b₁=a₂+λa₁=3+λ，b₂=a₃+λa₂=5+3λ，b₃=a₄+λa₃=11+5λ，…（2分）
所以（5+3λ）²=（3+λ）（11+5λ），
解得λ=1或λ=-2．…（3分）
当λ=1时，b_n=a_n+1+a_n，b_n-1=a_n+a_n-1，且b₁=a₂+a₁=4，
有

bn

bn-1

=

an+1+an

an+an-1

=

(an+2an-1)+an

an+an-1

=2（n≥2）．…（4分）
当λ=-2时，b_n=a_n+1-2a_n，b_n-1=a_n-2a_n-1，且b₁=a₂-2a₁=1，
有

bn

bn-1

=

an+1-2an

an-2an-1

=

(an+2an-1)-2an

an-2an-1

=-1（n≥2）．…（5分）
所以存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列．
当λ=1时，数列{b_n}为首项是4、公比是2的等比数列；
当λ=-2时，数列{b_n}为首项是1、公比是-1的等比数列．…（6分）
方法2：假设存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列，
设

bn

bn-1

=q（n≥2），…（1分）
即a_n+1+λa_n=q（a_n+λa_n-1），…（2分）
即a_n+1=（q-λ）a_n+qλa_n-1．…（3分）
与已知a_n+1=a_n+2a_n-1比较，令

q-λ=1 qλ=2.

…（4分）
解得λ=1或λ=-2．…（5分）
所以存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列．
当λ=1时，数列{b_n}为首项是4、公比是2的等比数列；
当λ=-2时，数列{b_n}为首项是1、公比是-1的等比数列．…（6分）
（2）解法1：由（1）知an+1+an=4×2n-1=2n+1（n≥1），…（7分）
当n为偶数时，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+（a₅+a₆）+…+（a_n-1+a_n）…（8分）
=2²+2⁴+2⁶+…+2ⁿ…（9分）
=

4(1-4 n 2 )

1-4

=

1

3

(2n+2-4)．…（10分）
当n为奇数时，S_n=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_n-1+a_n）…（11分）
=1+2³+2⁵+…+2ⁿ…（12分）
=1+

8(1-4 n-1 2 )

1-4

=

1

3

(2n+2-5)．…（13分）
故数列{a_n}的前n项和Sn=

1 3 (2n+2-4) ， n 为偶数 1 3 (2n+2-5) ， n为奇数

…（14分）
注：若将上述和式合并，即得Sn=

1

3

[(2n+2-4)+

(-1)n-1

2

]．
解法2：由（1）知an+1-2an=(-1)n+1（n≥1），…（7分）
所以

an+1

2n+1

-

an

2n

=

(-1)n+1

2n+1

=(-

1

2

)n+1（n≥1），…（8分）
当n≥2时，

an

2n

=

a1

21

+(

a2

22

-

a1

21

)+(

a3

23

-

a2

22

)+…+(

an

2n

-

an-1

2n-1

)
=

1

2

+(-

1

2

)2+(-

1

2

)3+…+(-

1

2

)n
=

1

2

+

(- 1 2 )2[1-(- 1 2 )n-1]

1-(- 1 2 )

=

1

2

+

1

6

[1-(-

1

2

)n-1]．
因为

a1

21

=

1

2

也适合上式，…（10分）
所以

an

2n

=

1

2

+

1

6

[1-(-

1

2

)n-1]（n≥1）．
所以an=

1

3

[2n+1+(-1)n]．…（11分）
则Sn=

1

3

[(22+23+24+…+2n+1)+((-1)1+(-1)2+(-1)3+…+(-1)n)]，…（12分）
=

1

3

[

4(1-2n)

1-2

+

(-1)(1-(-1)n)

1-(-1)

]…（13分）
=

1

3

[(2n+2-4)+

(-1)n-1

2

]．…（14分）
解法3：由（1）可知，

an+1+an=4×2n-1 an+1-2an=1×(-1)n-1.

…（7分）
所以an=

1

3

[2n+1+(-1)n]．…（8分）
则Sn=

1

3

[(22-1)+(23+1)+(24-1)+(25+1)+…+(2n+(-1)n-1)+(2n+1+(-1)n)]，…（9分）
当n为偶数时，Sn=

1

3

(22+23+24+25+…+2n+2n+1)…（10分）
=

1

3

×

4(1-2n)

1-2

=

1

3

(2n+2-4)．…（11分）
当n为奇数时，Sn=

1

3

[(22+23+24+25+…+2n+2n+1)-1]…（12分）
=

1

3

×[

4(1-2n)

1-2

-1]=

1

3

(2n+2-5)．…（13分）
故数列{a_n}的前n项和Sn=

1 3 (2n+2-4) ， n 为偶数 1 3 (2n+2-5) ， n为奇数

…（14分）
注：若将上述和式合并，即得Sn=

1

3

[(2n+2-4)+

(-1)n-1

2

]．

点评：本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，前n项和的求法，拆项法，构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力，计算能力，难度比较大．