Question

函数f(x)=x+

p

x

在[

1

2

，+∞)上为增函数，则p的取值范围为

(-∞，

1

4

]

．

Answer 1

分析：由题意可得，当x≥

1

2

时，f′（x）=1-

p

x2

≥0恒成立，即

p

x2

≤1恒成立．p≤0时显然满足此条件，当p为正实数时，应有 x²≥p．再由x≥

1

2

可得

1

4

≥p．综上可得，p的取值范围．

解答：解：∵函数f(x)=x+

p

x

在[

1

2

，+∞)上为增函数，则有当x≥

1

2

时，f′（x）=1-

p

x2

≥0恒成立．
即

p

x2

≤1恒成立．
显然当p≤0时，

p

x2

≤1成立．
当p为正实数时，x²≥p．再由x≥

1

2

时x²得最小值为

1

4

，∴

1

4

≥p．
综上可得，p的取值范围为(-∞，

1

4

]，
故答案为 (-∞，

1

4

]．

点评：本题主要考查函数的单调性的应用，函数的单调性与它的导数的关系，函数的恒成立问题，属于中档题．