Question

在四棱锥中，平面，,.

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值；

(Ⅲ)线段上是否存在点,使平面？说明理由.

Answer 1

证明：(Ⅰ)在四棱锥中，因为平面，平面,

所以.       因为，       所以.

       因为,       所以平面.

因为平面,所以.             

(Ⅱ) 如图，以为原点建立空间直角坐标系.  不妨设，则.

则.

           所以，.

           设平面的法向量.

           所以 .即.

           令，则.

           所以 所以

所以与平面所成角的正弦值为.                

(Ⅲ)（法一）当为线段的中点时,平面.

如图：分别取的中点,连结.

     所以,且.     因为且，

     所以且.     所以四边形是平行四边形.

     所以.     因为，    所以三角形是等腰三角形.

    所以.         因为平面，        所以.

        因为,        所以平面.        所以平面.

           即在线段上存在点,使平面.              

   （法二）设在线段上存在点,当时，平面.

           设，则.所以.

即.所以.

所以.由(Ⅱ)可知平面的法向量.

若平面，则.即.解得.

所以当，即为中点时，平面.