题目内容

如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M、N分别是A1B1、AB的中点.

（1）求证：C1M⊥平面A1ABB1；

（2）求证：A1B⊥AM；

（3）求证：平面AMC1∥平面NB1C；

（4）求A1B与B1C所成的角.

解析：（1）证法一：由直棱柱性质得AA1⊥平面A1B1C1，?

又∵C1M平面A1B1C1,∴AA1⊥MC1.?

又∵C1A1=C1B1，M为A1B1中点，∴C1M⊥A1B1.?

又A1B1∩A1A=A1，∴C1M⊥平面AA1B1B.?

证法二：由直棱柱性质得：面AA1B1B⊥平面A1B1C1，交线A1B1，又∵C1A1=C1B1，M为A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1于M.由面面垂直的性质定理可得C1M⊥面AA1B1B.?

（2）证明：由（1）知C1M⊥平面A1ABB1，∴C1A在侧面AA1B1B上的射影为MA.?

∵AC1⊥A1B，∴A1B⊥AM（由三垂线定理的逆定理得出）.?

（3）证法一：由棱柱性质知AA1B1B是矩形，M、N是A1B1、AB中点，∴ANB1M.?

∴AMB1N是平行四边形.∴AM∥B1N.?

连结MN,在矩形AA1B1B中有MB1BN,?

?   ∴BB1MN是平行四边形.∴BB1MN.?

又由BB1CC1，知MNCC1.?

∴MNCC1是平行四边形.∴C1M CN.?

又C1M∩AM=M，CN∩NB1=N,?

∴平面AMC1∥面NB1C.?

证法二：由（1）知C1M⊥平面AA1B1B，

∴C1M⊥A1B.?

又∵A1B⊥AC1，而AC1∩C1M=C1，∴A1B⊥平面AMC1.?

同理,可以证明A1B⊥平面B1NC.∴平面AMC1∥平面B1NC.?

（4）解：由（2）知A1B⊥AM，又由已知A1B⊥AC1，?

?   ∴A1B⊥平面AMC1.?

又∵平面AMC1∥平面NB1C，?

∴A1B⊥平面NB1C.∴A1B⊥B1C.?

∴A1B与B1C所成角为90°.?

另法：由棱柱性质有面ABC⊥平面AA1B1B,交线AB，又CA=CB=C1A1，N为AB中点，∴CN⊥AB.?

∴CN⊥面AA1B1B.∴CB1在侧面AA1B1B上的射影是NB1.又由（2）知A1B⊥AM，由（3）知B1N∥AM，?

∴A1B⊥B1N.由三垂线定理知B1C⊥A1B.?

∴A1B与B1C所成角为90°.

练习册系列答案
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AB
=
a
，
AC
=
b
，
AA
=
c
，则
DE
=
1
2
a
+
1
2
b
1
2
a
+
1
2
b
（用
a
，
b
，
c
表示）．
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