Question

已知曲线C是到定点M（-2，0）距离除以到定点N（0，2）的距离商为

2

的点的轨迹，直线l过点A（-1，2）且被曲线C截得的线段长为2

7

，求曲线C和直线l的方程．

Answer 1

分析：直接利用条件求出曲线C的方程，表示一个圆，当直线l的斜率不存在时，检验满足条件，当直线l的斜率存在时，
用点斜式设出直线l的方程，求出圆心到直线的距离d，再利用弦长公式求出直线l的斜率，从而得到直线l的方程．

解答：解：设曲线C上任意一点的坐标为（x，y），由题意得 

|PM|

|PN|

= 

(x+2)2+y2 x2+(y-2)2

=

2

，化简可得
（x-2）²+（y-4）²=16，即为所求曲线C的方程．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 x=-1，代入曲线C的方程得 y=4±

7

，此时的弦长为2

7

，满足条件．
当直线l的斜率存在时，直线l的方程为 y-2=k（x+1），即 kx-y+k+2=0．
圆心到直线的距离 d=

|2k-4+k+2|

k2+1

=

|3k-2|

k2+1

=

r2-( l 2 )2

=

16-7

，∴k=-

5

12

，
此时，直线l的方程为 5x+12y-19=0．
综上，曲线C的方程为  （x-2）²+（y-4）²=16，直线l的方程为  x=-1，或  5x+12y-19=0．

点评：本题考查直接利用条件求点的轨迹方程的方法，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，求直线l的斜率是解题的难点．