Question

【题目】已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，且的周长为8．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线过点，且与椭圆交于两点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）3.

【解析】

（1）由的周长为8，可知,结合离心率为，可求出，，，从而可得到椭圆的标准方程；（2）由题意知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，将直线方程与椭圆方程联立可得到关于的一元二次方程，由三角形的面积公式可知，结合根与系数关系可得到的表达式，求出最大值即可。

（1）由题意知, ,则,

由椭圆离心率,则,,

则椭圆的方程.

（2）由题意知直线的斜率不为0，

设直线的方程为，，，

则 ，

所以，

令，则，所以，

而在上单调递增，则的最小值为4，

所以，

当时取等号，即当时，的面积最大值为3.