题目内容
关于x的不等式|ax+1|+a|x+1|≥3a．
（I）当a=1时，解上述不等式．
（II）当a＜0时，若上述不等式恒成立，求实数a的取值范围．
解：（I）当a=1时，不等式|ax+1|+a|x+1|≥3a为2|x+1|≥3
∴x+1≥
或x+1
解得：{x|x≤-
或x≥
}
（II）当a＜0时，不等式|ax+1|+a|x+1|≥3a?-a|x+
|+a|x+1|≥3a?|x+1|-|x+|≤3恒成立根据绝对值的几何意义得|-1+|≤3?1-≤3，解得a≤-．
分析：（I）把a=1代入不等式|ax+1|+a|x+1|≥3a，根据绝对值不等式的解法解不等式；
（II）当a＜0时，把不等式|ax+1|+a|x+1|≥3a等价变形为|x+1|-|x+|≤3恒成立，根据绝对值不等式的几何意义求最值．
点评：考查应用绝对值的几何意义求最值，体现了转化的思想，而对于含有参数的问题，增加了试题的难度，属中等题．
∴x+1≥
或x+1解得：{x|x≤-
或x≥}（II）当a＜0时，不等式|ax+1|+a|x+1|≥3a?-a|x+
|+a|x+1|≥3a?|x+1|-|x+|≤3恒成立根据绝对值的几何意义得|-1+|≤3?1-≤3，解得a≤-．分析：（I）把a=1代入不等式|ax+1|+a|x+1|≥3a，根据绝对值不等式的解法解不等式；
（II）当a＜0时，把不等式|ax+1|+a|x+1|≥3a等价变形为|x+1|-|x+
|≤3恒成立，根据绝对值不等式的几何意义求最值．点评：考查应用绝对值的几何意义求最值，体现了转化的思想，而对于含有参数的问题，增加了试题的难度，属中等题．
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