Question

【题目】定义在上的函数，如果满足对任意，存在常数，都有成立，则称

是上的有界函数，其中称为函数的上界，已知函数．

（1）当时，求函数在上的值域，判断函数在上是否为有界函数，并说明理由．

（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），不是有界函数．

（2）．

【解析】试题分析：

（1）当时，，，利用换元法可得函数在的值域为，故不满足有界函数的定义．（2）将问题转化为在恒成立，分两种情况利用分离参数的方法分别求出的取值范围，然后取交集即可得到所求的范围．

试题解析：

（1）当时，，．

设，，

则函数在上单调递增，

∴，

∴函数的值域为，

∴在的值域为．

∴不存在常数，都有成立，

∴函数在不是有界函数．

（2）由题意知在上恒成立，

∴在恒成立．

①当在恒成立时，

令，

则由原不等式可得对恒成立，

设，，

由单调性的定义可得在上单调递增，

∴，

∴．

②当在恒成立时，

令，则由原不等式得对恒成立，

设，，

由函数单调性的定义可得在上单调递减，

∴，

∴.

综上．

∴实数的取值范围．