Question

已知函数f(x)=-

1

a

+

2

x

，(a≠0)，
（I）解关于x的不等式f （x）＞0；
（II）若f（2^x）+2^x+1≥0在x∈R上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求不等式通分，转化为二次不等式，通过对相应方程的两个根的大小的讨论，求出不等式的解集．
（II）分离出参数，构造函数，利用基本不等式求出新函数的最值，进一步求出参数a的范围．

解答：解：（I）-

1

a

+

2

x

＞ 0
即

-x+2a

ax

＞0
即ax（x-2a）＜0
当a＞0时，不等式的解集为{x|0＜x＜2a}
当a＜0时，不等式的解集为{x|x＜2a或x＞0}
（II）f（2^x）+2^x+1≥0在x∈R上恒成立
即-

1

a

+

2

2x

+2x+1≥0恒成立
即

1

a

≤

1

2x-1

+2x+1在x∈R上恒成立，
令y=

1

2x-1

+2x+1≥2

1 2x-1 •2x+1

=4
当且仅当2x+1=

1

2x-1

时取“=”
∴

1

a

≤4解得a∈(-∞，0)∪[

1

4

，+∞)

点评：求分式不等式，一般通过通分将其转化为整式不等式，利用穿根的方法求出解集；解决不等式恒成立问题，一般分离参数，转化为求函数的最值来解决．