Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的离心率是

3

2

．
（1）证明：a=2b；
（2）设点P为椭圆上的动点，点A(0，

3

2

)，若|

AP

|的最大值是

7

，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）根据离心率为

c

a

=

3

2

以及c²=a²-b²，即可证明结论．
（2）设P（x，y）由/

.

AP

/的最大值为

7

，求得b的值，从而求得椭圆方程．

解答：解：（1）证明：设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的半焦距为c．
因为椭圆的离心率是

3

2

，所以 

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

=

3

4

，即a=2b．      
（2）设点P（x，y）．
则|

AP

|2=x2+(y-

3

2

)2=a2(1-

y2

b2

)+y2-3y+

9

4

=4b2-3y2-3y+

9

4

=-3(y+

1

2

)2+4b2+3，其中-b≤y≤b．
①若b＜

1

2

2，则当y=-b3时，|

AP

|4取得最大值．
由题设，(

7

)2=(b+

3

2

)2，b=

7

-

3

2

＞

1

2

，这与b＜

1

2

矛盾．             
②若b≥

1

2

，则当y=-

1

2

时，|

AP

|取得最大值．
由题设，(

7

)2=4b2+3，解得b=1，从而a=2．
故椭圆方程为

x2

4

+y2=1．

点评：本题主要考查椭圆的基本性质，并渗透了向量、函数最值等问题，此题要注意对b的范围进行分类讨论，属于基础题．