Question

如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，侧面APD为等腰直角三角形，PA⊥PD，平面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PC上不同于端点的一点．
（1）求证：PA⊥DE：
（2）设AD=2BC=2，CD=，求三棱锥D﹣PBC的高．

Answer 1

（1）证明：∵AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，
∴DC⊥平面PAD
∵PA平面PAD，
∴DC⊥PA
∵PA⊥PD，PD∩DC=D，
∴PA⊥平面PDC∵DE平面PDC，
∴PA⊥DE；
（2）作PF⊥AD，F为垂足，则F为AD中点，且PF=1，连接BF
∵PF⊥AD，平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PF⊥底面ABCD，
∴PF⊥BF
∵BC∥FD，BC=FD，
∴四边形BCDF是平行四边形
∵BF=CD=，
∴PB=2
∵BF∥CD，AD⊥CD，
∴AD⊥BF
∵AD⊥PF，BF∩PF=F
∴AD⊥面PFB，
∴BC⊥面PFB作FH⊥PB，垂足为H，由FH面PFB，可得FH⊥BC
∴FH⊥面PBC，
∴FH的长度为F到面PBC的距离
∵FD∥BC，BC面PBC，FD面PBC
∴FD∥面PBC
设棱锥D﹣PBC的高为h，
∴h=FH
由PF·FB=PB·FH，得FH=
∴三棱锥D﹣PBC的高为