Question

（2013•房山区二模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点坐标为(±

2

 ， 0)，离心率为

6

3

．直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得以PQ为直径的圆过点D（-1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由焦点坐标可得c，由离心率可得a，由a²=b²+c²得b；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立直线方程与椭圆方程消掉y，若存在以PQ为直径的圆过点D（-1，0），则

PD

⊥

QD

，即

PD

•

QD

=0，根据向量数量积运算、韦达定理即可得关于k的方程，解出k检验是否满足△＞0即可；

解答：解：（Ⅰ）由e=

6

3

=

c

a

，c=

2

，a²=b²+c²得，a=

3

，b=1，
所以椭圆方程是：

x2

3

+y2=1；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，
将y=kx+2代入

x2

3

+y2=1，整理得（3k²+1）x²+12kx+9=0（*），
则x1+x2=-

12k

3k2+1

，x1x2=

9

3k2+1

，
以PQ为直径的圆过D（-1，0），
则

PD

⊥

QD

，即

PD

•

QD

=0，
所以

PD

•

QD

=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂
=x₁x₂+（x₁+x₂）+y₁y₂+1=（k²+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=

-12k+14

3k2+1

=0．            
解得k=

7

6

，此时（*）方程△＞0，
所以存在k=

7

6

，使得以PQ为直径的圆过点D（-1，0）．

点评：本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系等知识，考查转化思想，解决（Ⅱ）问的关键是先假设存在，然后把问题转化为向量数量积为0求解．