Question

如图，已知正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面边长为4，A₁A＝6，Q为B₁B的中点，P∈DD₁，M∈A₁B₁，N∈C₁D₁，A₁M＝1，D₁N＝3．

①当P为DD₁中点时，求二面角M－PN－D₁的大小；

②DD₁上是否存在点P，使QD₁⊥面PMN？若存在，求出P点的位置，若不存在，说明理由．

③若P为DD₁中点，求三棱锥Q－PMN体积．

Answer 1

答案：
解析：

①过M做MO⊥D1C1，过O作OH⊥PN，边MH，则∠MHO为二面角M－PN－D1的平面角，易求∠MHO＝arccos． 　　②不存在，因为假设存在点P使QP1⊥平面PMN，则QD1⊥MN，QD1在底面上的射影为B1D1，则B1D1⊥MN，而实际B1D1不垂直MN． 　　③易知VQ－PMN＝2VB－PMN＝2Vp－BMN＝12．