Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且点(n，

Sn

n

)(n∈N*)在函数f(x)=

2(an-1)

x

+x-3的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=ansin(nπ+

π

2

)，求数列{b_n}的前n项和T_n；

Answer 1

分析：（1）把点(n，

Sn

n

)代入函数f（x）中，得到

Sn

n

，进而可得S_n，进而根据a_n+1=S_n+1-S_n，整理得a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n），
判定数列{a_n-2n}公比为2的为等比数列，a₁=S₁，求得a₁，最后根据等比数列的通项公式求得a_n-2n进而求得a_n．
（2）把（1）中求得的a_n代入bn=ansin(nπ+

π

2

)中，化简整理得b_n=（-2）ⁿ+（-1）ⁿ•2n进而根据等比数列的求和公式分n为奇数和偶数两种情况求得T_n．

解答：解：（1）由题设知

Sn

n

=

2(an-1)

n

+n-3，
即S_n=2a_n+n²-3n-2，
∴S_n+1=2a_n+1+n²-n-4．
相减得a_n+1=2a_n+1-2a_n+2n-2，
∴a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n），
当n=1时，a₁=4．且a₁-2×1≠0；
∴a_n-2n=2•2^n-1=2ⁿ，即a_n=2n+2ⁿ．
（2）由知bn=(2n+2n)sin(nπ+

π

2

)=(-1)n(2n+2n)=(-2)n+(-1)n•2n．
∴T_n=[-2+（-2）²+（-2）ⁿ]+2[-1+2-3+4-+（-1）ⁿ•n]．
当n为偶数时，Tn=

2n+1

3

+n-

2

3

；
当n为奇数时，Tn=

2n+1

3

-n-

5

3

．
故Tn=

2n+1 3 +n- 2 3 (n偶) 2n+1 3 -n- 5 3 (n奇)

点评：本题主要考查了数列求数列的通项公式和前n项和的求法．常把数列转化成等比或等差数列来解决．