Question

如图，已知ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=，AD=2，E为PB上一点，且PC⊥平面ADE.

(1)求PC与平面PBD所成角的大小;

(2)求的值;

(3)求四棱锥P—ABCD夹在平面ADE与底面ABCD之间部分的体积.

Answer 1

解：(1)在平面ABCD内作CG⊥BD于G,连结PG,

∵PD⊥平面ABCD,CG平面ABCD,

∴PD⊥CG.

∴CG⊥平面PBD.

∴∠CPG就是PC与面PBD所成的角.

    在Rt△BCD中,CG=,

    又PC=,

    故在Rt△PGC中,sinCPG=.

    又∵∠CPG为锐角,

∴∠CPG=arcsin.

∴PC与平面PBD所成的角为arcsin.

(2)设平面ADE与PC交于F，连DF、EF，

∵PC⊥平面ADE，DF平面ADE，∴PC⊥DF.

    又∴PD=DC,∴F为PC中点.

∵BC∥AD,BC平面ADE.

∴BC∥平面ADE,

    又平面ADE∩平面PBC=EF.

∴BC∥EF.

∴E为PB中点,故=1.

(3)∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD.

    又AD⊥DC,∴AD⊥平面PDC.

    又DF平面PDC,∴AD⊥DF,

∵EF∥BC,BC∥AD,∴EF∥AD.

    又PF⊥平面ADEF,EF=BC=1,DF=DC=,

∴V_P—DAEF=

    又V_P—ABCD=×(2×)×=8,

∴V=V_P—ABCD-V_P—DAEF=5,

    即四棱锥P—ABCD夹在平面ADE与底面ABCD之间部分的体积为5.