Question

已知函数f（x）=（ax-1）（x+1）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在区间[-1，2]上的值域；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-1，+∞）上是减函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）解关于x的不等式f（x）＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=l代入，结合二次函数的性质可得；
（Ⅱ）当a=0时，符合题意，当a≠0时，需a＜0，且

1

a

≤-1，综合可得；
（Ⅲ）化为解不等式（ax-1）（x+1）＜0，针对a的正负和两根的大小分类可得．

解答：解：（Ⅰ）当a=l时，f（x）=（x-1）（x+1）=x²-1，
函数f（x）在区间（-∞，0]上单调递减，在区间[0，+∞）上单调递增，
所以，f（x）在区间[-1，2]上的最小值为f（0）=-1…（2分）
f（x）在区间[-1，2]上的最大值为f（2）=3…（3分）
故f（x）在区间[-1，2]上的值域为[-1，3]…（4分）
（Ⅱ）当a=0时，f（x）=-x-1，在区间[-1，+∞）上是减函数，符合题意…（5分）
当a≠0时，若函数f（x）在区间[-1，+∞）上是减函数，
则a＜0，且

1

a

≤-1，…（7分）
所以-1≤a＜0，…（9分）
所以a的取值范围是[-1，0]
（Ⅲ）由已知，解不等式（ax-1）（x+1）＜0．
当a=0时，可解得x＞-1，解集为{x|x＞-1} …（10分）
当a＞0时，不等式可化为（x-

1

a

）（x+1）＜0，解得-1＜x＜

1

a

，解集为{|-1＜x＜

1

a

 } …（11分）
当a＜0时，不等式可化为（x-

1

a

）（x+1）＞0，
若

1

a

=-1，即a=-1时，x≠-1，解集为{x|}x≠-1；                   …（12分）
若

1

a

＞-1，即a＜-1时，x＜-1或x＞

1

a

，解集为{x|x＜-1或x＞

1

a

 }           …（13分）
若

1

a

＜-1，即-1＜a＜0时，x＜

1

a

或x＞-1，解集为{x|x＜

1

a

或x＞-1 }         …（14分）

点评：本题考查一元二次不等式的解集，涉及二次函数知识的应用，属中档题．