Question

一个等差数列{a_n}，其中a₁₀=0，则有a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_19-n(1≤n≤19)，一个等比数列{b_n}，其中b₁₅=1,类比等差数列{a_n}有下列结论：___________.

Answer 1

分析:在等差数列{a_n}中，a₁₀=0,已知以a₁₀为等差中项的项和为0，如a₉+a₁₁=a₈+a₁₂=…=a₂+a₁₈=a₁+a₁₉=0，而在等比数列{b_n}中，b₁₅=1,类似地有b₁b₂₉=b₂b₂₈=…=b₁₄b₁₆=1,从而类似的总结规律应为各项之积.

解:∵在等差数列{a_n}中，a₁₀=0,

∴a₁+a₁₉=a₂+a₁₈=…=a₈+a₁₂=a₉+a₁₁=0,

即a_19-n+a_n+1=0,a₁₈-n+a_n+2=0,a_17-n+a_n+3=0,

…

∴a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_19-n.

∵b₁₅=1,∴b₁b₂₉=b₂b₂₈=…=b₁₄b₁₆=1,

即b_29-nb_n+1=b_28-nb_n+2=…=b₁₄b₁₆=1.

∴有b₁b₂…b_n=b₁b₂…b₂₉-n(1≤n≤29,n∈N₊).

绿色通道

    本题考查了等差中项、等比中项和等差数列、等比数列的性质及观察判断、猜想类比的能力.对于等差数列、等比数列有许多类似的性质，可结合定义进行类比.