Question

已知函数g（x）=（a-2）x（x＞-1），函数f（x）=ln（1+x）+bx的图象如图所示．
（I）求b的值；
（II）求函数F（x）=f（x）-g（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）求出f（x）的导函数，由图象可知x=-0.5时导函数的值为0，所以把x=0.5代入导函数令其等于0即可求出b的值；
（II）把（I）中求出的b代入f（x）中，确定出f（x）的解析式，然后把f（x）和g（x）的解析式代入到F（x）=f（x）-g（x）中得到F（x）的解析式，求出F（x）的导函数，令导函数大于0，根据对数函数的定义域可知x+1大于0，推出ax小于1-a，然后分a大于0，a小于0和a等于0三种情况讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间．

解答：解：（I）f′(x)=

1

1+x

+b，
由图知f'（-0.5）=0?b=-2；
（II）F（x）=f（x）-g（x）=ln（1+x）-2x-（a-2）x=ln（1+x）-ax，得到F′(x)=

1

1+x

-a，
令F'（x）=

1

1+x

-a＞0?因为x+1＞0?ax＜1-a
当a＞0时，F'（x）＞0?-1＜x＜

1

a

-1，故函数F（x）的单调增区间是（-1，

1

a

-1），单调减区间(

1

a

-1，+∞)；
当a＜0时，F'（x）＞0?x＞-1，故函数F（x）的单调增区间是（-1，+∞）；
当a=0时，F'（x）＞0?x＞-1，故函数F（x）的单调增区间是（-1，+∞），
综上所述：
当a＞0时，函数F（x）的单调增区间是(-1，

1

a

-1)，单调减区间是(

1

a

-1，+∞)．
当a≤0时，函数F（x）的单调增区间是（-1，+∞）．

点评：此题考查学生会利用导数研究函数的极值，会根据导函数的正负得到函数的单调区间，灵活运用分类讨论的数学思想解决实际问题，是一道综合题．