Question

已知函数g（x）=asinx+bcosx+c
（1）当b=0时，求g（x）的值域；
（2）当a=1，c=0时，函数g（x）的图象关于x=

5π

3

对称，求函数y=bsinx+acosx的对称轴．
（3）若g（x）图象上有一个最低点(

11π

6

，1)，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的

3

π

倍，然后向左平移1个单位可得y=f（x）的图象，又知f（x）=3的所有正根从小到大依次为x₁，x₂，x₃，…，x_n，…，且x_n-x_n-1=3（n≥2），求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）当b=0时，函数g（x）=asinx+c，分a=0和a≠0两种情况，分别求出函数g（x）的值域．
（2）当a=1，c=0时，由 g（x）=sinx+bcosx，且图象关于x=

5π

3

对称，求出b的值，可得函数 y=

2 3

3

cos（x+

π

6

），由 x+

π

6

=kπ，k∈z，求出x的解析式，即可得到函数的对称轴方程．
（3）由g（x）图象上有一个最低点 （

11π

6

，1），求得g（x）=（c-1）sin（x-

π

3

）+c．再由函数图象的变换规律求得f（x）=（c-1）sin

π

3

x+c．由题意可得，直线y=3要么过f（x）的最高点或最低点，或过f（x）的对称中心．分别求出c的值，再检验得出结论．

解答：解：（1）当b=0时，函数g（x）=asinx+c．
当a=0时，值域为：{c}．
当a≠0时，值域为：[c-|a|，c+|a|]．
（2）当a=1，c=0时，
∵g（x）=sinx+bcosx 且图象关于x=

5π

3

对称，
∴|

3

2

-

1

2

b|=

b2+1

，∴b=-

3

3

．
∴函数 y=bsinx+acosx 即：y=-

3

3

sinx+cosx=

2 3

3

 cos（x+

π

6

）．
 由 x+

π

6

=kπ，k∈z，可得函数的对称轴为：x=kπ-

π

6

，k∈z．
（3）由g（x）=asinx+bcosx+c=

a2+b 2

 sin（x+∅）+c，其中，sin∅=

b

a2+b 2

，cos∅=

a

a2+b 2

．
由g（x）图象上有一个最低点 （

11π

6

，1），所以

11π 6 +∅=2kπ- π 2 - a2+b 2 +c=1

，
∴

∅=2kπ- 7π 3  ， k∈z a2+b 2 = c-1

，
∴g（x）=（c-1）sin（x-

π

3

）+c．
又图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的

3

π

倍，然后向左平移1个单位可得y=f（x）的图象，则f（x）=（c-1）sin

π

3

x+c．
又∵f（x）=3的所有正根从小到大依次为 x₁、x₂、x₃…x_n、…，且 x_n-x_n-1=3 （n≥2 ），
所以y=f（x）与直线y=3的相邻交点间的距离相等，根据三角函数的图象与性质，直线y=3要么过f（x）的最高点或最低点，要么是y=

2c-1+1

2

，
即：2c-1=3或 1-c+c=3（矛盾）或

2c-1+1

2

=3，解得c=2 或 c=3．
当c=2时，函数的  f（x）=sin

π

3

x+2，T=6．
直线 y=3和 f（x）=sin

π

3

x+2相交，且  x_n-x_n-1=3 （n≥2 ），周期为3（矛盾）．
当c=3时，函数  f（x）=2sin

π

3

x+3，T=6．
直线直线 y=3和 f（x）=2sin

π

3

x+3相交，且 x_n-x_n-1=3 （n≥2 ），周期为6（满足条件）．
综上：f（x）=2sin

π

3

x+2．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的对称性，y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．