Question

已知函数f（x）=（x²-a）e^x，其中a≥3，e为自然对数的底数．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．

Answer 1

（1）∵f（x）=（x²-a）e^x，其中a≥3，
∴f′（x）=2xe^x+（x²-a）e^x=（x²+2x-a）e^x，
令f′（x）＞0得，x＜-1-

1+a

或x＞-1+

1+a

，
令f′（x）＜0得，-1-

1+a

＜x＜-1+

1+a

，
所以函数f（x）在（-∞，-1-

1+a

）和（-1+

1+a

，+∞）上递增，在（-1-

1+a

，-1+

1+a

）上递减；
（2）由（1）知f（x）在（-∞，-1-

1+a

）和（-1+

1+a

，+∞）上递增，在（-1-

1+a

，-1+

1+a

）上递减，
又a≥3，所以-1+

1+a

≥1，则f（x）在[0，1]上单调递减，
所以当x=0时f（x）取得最大值为-a；