Question

（2013•大连一模）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

x=2cosα y=2+2sinα

（α为参数），曲线C₂的参数方程为

x=2+2cosβ y=2sinβ

（β为参数），P是C₂上的点，线段OP的中点在C₁上．
（Ⅰ）求C₁和C₂的公共弦长；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求点P的一个极坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先将曲线C₁、C₂化成一般方程，是两个圆的方程，得到两圆的公共弦所在直线为y=x，其中一个圆的圆（2，0）到该直线距离为

2

，利用直角三角形求出公共弦长．
（Ⅱ）将曲线C₁、C₂的直角坐标方程化成极坐标方程，设M（ρ，θ），则P（2ρ，θ），两点分别代入C₁和C₂解得极径和极角，从而得出点P的一个极坐标．

解答：解：（Ⅰ）曲线C₁的一般方程为x²+（y-2）²=4，
曲线C₂的一般方程为（x-2）²+y²=4．（2分）
两圆的公共弦所在直线为y=x，（2，0）到该直线距离为

2

，所以公共弦长为2

22- 2 2

=2

2

．（5分）
（Ⅱ）曲线C₁的极坐标方程为ρ=4sinθ，
曲线C₂的极坐标方程为ρ=4cosθ．（7分）
设M（ρ，θ），则P（2ρ，θ），两点分别代入C₁和C₂解得ρ=

4 5

5

，θ不妨取锐角arcsin

5

5

，
所以P(

8 5

5

，arcsin

5

5

)．（10分）

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，以及两圆位置关系的判断方法，求两圆的公共弦长等，属于基础题．