Question

已知函数。
（1）若函数在上是增函数，求正实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求函数在上的最大值和最小值；
（3）当a=1时，证明：对任意的正整数n>1，不等式都成立。

Answer 1

解：（1）由题设，可得，

∴当时，不等式即恒成立，
且时，的最大值为1，
则实数a的取值范围是。
（2）当a=1时，，
∴当时，，于是f（x）在上单调递减；
当时，，于是f（x）在上单调递增，
又，

。
（3）当a=1时，由（1）知在上是增函数，
∴对于任意正整数n>1，有，则，
即，
∴，
∴，
而，
则成立。