Question

（2012•德州一模）设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个顶点与抛物线：x2=4

2

y的焦点重合，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，离心率e=

3

3

，过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C交于M、N两点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得

OM

•

ON

=-1，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求

3 |AB|2

|MN|

的值．

Answer 1

分析：（I）根据抛物线方程得它的焦点坐标为（0，

2

），即为椭圆的上顶点，得到b=

2

，结合椭圆的离心率为

3

3

，可解出a、c的值，即可得到椭圆C的方程；
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线l方程：y=k（x-1），与椭圆消去y得关于x的方程，由根与系数关系得：x₁+x₂=

6k2

2+3k 2

，x₁x₂=

3k2-6

2+3k2

，代入

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂的式子并进行化简，可得当k=±

2

时，

OM

•

ON

=-1，从而得到符合题意的直线l方程；
（III）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用（II）的方程并结合两点距离公式进行化简，可得|MN|=

4 3 (k2+1)

2+3k2

，再设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），同样的方程可得|AB|=2

6(k2+1) 2+3k2

，由此代入

3 |AB|2

|MN|

化简，即可得到要求的值．

解答：解：（I）抛物线x2=4

2

y的焦点坐标为（0，

2

），可得椭圆的上顶点为（0，

2

），得b=

2

∵椭圆的离心率e=

3

3

，得

c

a

=

3

3

，解得a=

3

，c=1
∴椭圆C的方程是

x2

3

+

y2

2

=1
（II）由（I）得椭圆C的右焦点为F₂（1，0）
①当直线l与x轴垂直时，直线l斜率不存在，此时M（1，

2

3

3

），N（1，-

2

3

3

）
∴

OM

•

ON

=1×1+

2

3

3

×（-

2

3

3

）=-

1

3

，不符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设直线方程l：y=k（x-1），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由

x2 3  + y2 2 =1 y=k(x-1)

，得（2+3k²）x²-6k²x+3k²-6=0
x₁+x₂=

6k2

2+3k 2

，x₁•x₂=

3k2-6

2+3k2

∴

OM

•

ON

=x₁•x₂+y₁•y₂=x₁•x₂+k²[x₁•x₂-（x₁+x₂）+1]=（1+k²）x₁•x₂-k²（x₁+x₂）+k²=-1
即（1+k²）•

3k2-6

2+3k2

-k²•

6k2

2+3k 2

+k²=-1
解之得k=±

2

，故直线l的方程是y=

2

（x-1）或y=-

2

（x-1）．
（III）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
由（II）得|MN|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+k2

|x₁-x₂|
=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x 1x2]

=

(1+k2)[( 6k2 2+3k 2 )2-4× 3k2-6 2+3k2  ]

=

4 3 (k2+1)

2+3k2

由

x2 3 + y2 2 =1 y=kx

消去y，整理得x2=

6

2+3k 2

∴|AB|=

(x3-x4)2+(y3-y4)2

=

1+k2

|x₃-x₄|=2

6(k2+1) 2+3k2

∴

3 |AB|2

|MN|

=

24 3 (k2+1) 2+3k2

4 3 (k2+1) 2+3k2

=6．

点评：本题给出椭圆的上顶点与抛物线的焦点重合，求椭圆方程并求满足数量积

OM

•

ON

=-1的焦点弦所在直线方程，着重考查了椭圆、抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线关系和向量的数量积等知识，属于中档题．