Question

（2013•凉山州二模）设函数f （x）=x³+3ax²-4（a∈R，x∈R），g（x）=-2ax²+x （a∈R，x∈R）．
（1）若函数f （x）在（0，2）上单调递减，在区间（2，+∞）单凋递增，求a的值；
（2）若函数y=f （x）+g （x）在R上有两个不同的极值点，求

3g2(1)

f(1)+3

的取值范围；
（3）若方程f²（x）-64f （x）=0，有且只有三个不同的实根，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意知，f （x）在x=2处取得的极大值，即f′（2）=0，解出a即可；
（2）由于y=x³+ax²+x-4在R上有两个不同的极值点，则导函数满足△=4a²-12＞0，解出a的范围，
又由

3g2(1)

f(1)+3

=4a+

1

a

-4，即可得到

3g2(1)

f(1)+3

的取值范围；
（3）由于f²（x）-64f （x）=0，则f （x）=0或f （x）=±8，分a等于0，大于0，小于0三种情况来讨论函数f（x）的单调性，
进而依据函数的极值得到方程f²（x）-64f （x）=0，有且只有三个不同的实根时，实数a的取值范围．

解答：解：（1）由于函数f（x）=x³+3ax²-4（a∈R，x∈R），
则f′（x）=3x²+6ax．
 由于函数f （x）在（0，2）上单调递减，在区间（2，+∞）单凋递增，
则f （x）在x=2处取得的极大值，
故f′（2）=3×2²+6a×2=0，解得a=-1；
（2）由于y=f （x）+g （x）=x³+3ax²-4-2ax²+x=x³+ax²+x-4，
则y′=3x²+2ax+1  
由于函数y=f （x）+g （x）在R上有两个不同的极值点，
则△=4a²-12＞0，解得 a＜-

3

或a＞

3

．
又由

3g2(1)

f(1)+3

=

(1-2a)2

a

=4a+

1

a

-4，若令h(a)=4a+

1

a

则函数h（a）在区间（

3

，+∞）上递增，在（-∞，-

3

）上也递增，
故h(a)＜-

13 3

3

或h(a)＞

13 3

3

，
则

3g2(1)

f(1)+3

的取值范围是(-∞，-

13 3 +12

3

)∪(

13 3 -12

3

，+∞)；
（3）由（1）知，f′（x）=3x²+6ax
由于f²（x）-64f （x）=0，则f （x）=0或f （x）=±8，
①当a=0时，f （x）=x³-4在R上单调递增，
f （x）=0，f （x）=8，f （x）=-8各有一个实根，符合要求；
②当a＞0时，f′（x）=3x（x+2a），
则函数f（x）在（-∞，-2a）上递增，在（-2a，0）上递减，在（0，+∞）上递增，
故函数f（x）的极大值为f（-2a）=4a³-4，极小值为f（0）=-4．
由于原方程要有且只有三个不同的实根，则必满足 f（-2a）＜0，
故得到0＜a＜1时，符合要求；
③当a＜0时，则函数f（x）在（-∞，0）上递增，在（0，-2a）上递减，在（-2a，+∞）上递增，
故函数f（x）的极大值为f（0）=-4，极小值为f（-2a）=4a³-4．
由于原方程要有且只有三个不同的实根，则必满足 f（-2a）＞-8，
故得到-1＜a＜0时，符合要求．
综上可知，若方程f²（x）-64f （x）=0，有且只有三个不同的实根，则a的取值范围为（-1，1）．

点评：考查利用导数研究函数的单调性和图象，体现了数形结合的思想方法．本题是一道含参数的函数、导数与方程的综合题，需要对参数进行分类讨论．属中档题．