题目内容

设奇函数f（x）对任意x∈R都有．
（1）求和的值；
（2）数列{an}满足：an=f（0）+，数列{an}是等差数列吗？请给予证明；
（3）设m与k为两个给定的不同的正整数，{an}是满足（2）中条件的数列，
证明：（s=1，2，…）．
【答案】分析：（1）直接根据，且f（x）是奇函数把代入即可求出；再结合奇函数得到；把代入即可得到的值；
（2）先设，利用倒序相加法结合第一问的结论，求出，进而求出数列{an}的通项公式，再根据定义即可证得数列{an}是等差数列；
（3）先根据第一问的结论把问题转化，再利用基本不等式对其放缩即可得到结论．
解答：解：（1）∵，且f（x）是奇函数
∴
∴，故…（2分）
因为，所以．
令，得，即．…（4分）
（2）设
又
两式相加．
所以，…（6分）
故…（7分）
又．故数列{an}是等差数列．…（8分）
（3）∵
=
=||
要证：（s=1，2，…）
即 …（10分）
∵
∴
即，从而…（12分）
又∵恒成立，
所以有恒成立
即（s=1，2，…）…（14分）
点评：本题主要考察数列与不等式的综合问题．解决本题第一问的关键在于利用奇函数的性质得到．而解决第二问的关键在于用到了倒序相加求和．
练习册系列答案
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设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x≠0时，xf（x）＜0，f（1）=-2
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）试问：在-2≤x≤2时，f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．
（3）解关于x的不等式
1
2
f(bx)-f(x)＞
1
2
f(b2x)-f(b)．
设函数f（x）=loga（1-x），g（x）=loga（1+x），（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）-g（x），判断函数F（x）的奇偶性并证明；
（Ⅱ）若关于x的方程g（m+2x-x2）=f（x）有实数根，求实数m的范围；
（Ⅲ）当a＞1时，不等式f（n-x）＞
12
g（x）对任意x∈[0，1]恒成立，求实数n的范围．
设奇函数f（x）对任意x∈R都有f(x)=f(x-1)+
1
2
．
（1）求f(
1
2
)和f(
k
n
)+f(
n-k
n
)(k=0，1，2，…，n)的值；
（2）数列{an}满足：an=f（0）+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)-f(
1
2
)，数列{an}是等差数列吗？请给予证明．
设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0．
（1）求证f（x）是奇函数；
（2）判断f（x）的单调性；
（3）若f（1）=-2，试问在-3≤x≤3，f（x）是否有最值？如果有，求出最值，如果没有，说出理由．
设奇函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数，且f（-1）=-1．当x∈[-1，1]时，函数f（x）≤t2-2at+1，对一切a∈[-1，1]恒成立，则实数t的取值范围为（　　）

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