题目内容
如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得
=
=λ （0＜λ＜+∞），记f（λ）=αλ+βλ其中αλ表示EF与AC所成的角，βλ表示EF与BD所成的角，则（ ）
A．f（λ）在（0，+∞）单调增加
B．f（λ）在（0，+∞）单调减少
C．f（λ） 在（0，1）单调增加，而在（1，+∞单调减少
D．f（λ）在（0，+∞）为常数
【答案】分析：根据αλ表示EF与AC所成的角，βλ表示EF与BD所成的角，证明AC⊥BD，可得结论．
解答：解：作EG∥AC交BC于G，连GF，
则
=
=
，故GF∥BD
∴∠GEF=αλ，∠GFE=βλ，
取BD的中点M，连接AM，CM，∵ABCD是正四面体，∴BD⊥AM，BD⊥CM，
∵AM∩CM=M，∴BD⊥平面ACM
∵AC?平面ACM
∴AC⊥BD，∴∠EGF=90°
故f（λ）=）=αλ+βλ=∠GEF+∠GFE=90°，即为常数．
故选D．
点评：本题考查空间角的计算，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
解答：解：作EG∥AC交BC于G，连GF，
则
==，故GF∥BD∴∠GEF=αλ，∠GFE=βλ，
取BD的中点M，连接AM，CM，∵ABCD是正四面体，∴BD⊥AM，BD⊥CM，
∵AM∩CM=M，∴BD⊥平面ACM
∵AC?平面ACM
∴AC⊥BD，∴∠EGF=90°
故f（λ）=）=αλ+βλ=∠GEF+∠GFE=90°，即为常数．
故选D．
点评：本题考查空间角的计算，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
练习册系列答案
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| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
14、如图，正四面体ABCD的顶点A、B、C分别在两两垂直的三条射线Ox、Oy、Oz上，给出下列四个命题：
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