题目内容

已知函数f（x）=2x²+mx-1，集合A={x|log₂（x+2）≥log₂（x²+x+1）}，B={x|32x⁸-1≤1}．
（1）设f（x）≤0的解集为C，若C⊆（A∪B），求m的取值范围；
（2）当m∈A，x∈B时，求证：|f（x）|≤ $数学公式$ ．

解：由题意log₂（x+2）≥log₂（x²+x+1），
得x+2≥x²+x+1＞0，
解得-1≤x≤1；
由32x⁸-1≤1得x²≤ $\text{[math]}$
解得- $\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$ ．
∴A=[-1，1]，B=[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
∴A∪B=[-1，1]．
（1）∵C={x|2x²+mx-1≤0}且C⊆（A∪B），
∴不等式2x²+mx-1≤0的解集是[-1，1]的子集．
∵△=m²+8＞0，
∴只要 $\text{[math]}$ 即可，解得-1≤m≤1．
∴m的取值范围为[-1，1]．
（2）∵m∈A，x∈B，∴|m|≤1，x²≤ $\text{[math]}$ ．
∴|f（x）|=|2x²-1+mx|≤|2x²-1|+|mx|
≤-（2x²-1）+|x|
=-2（|x|- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由题意先化简集合A，B，再根据C⊆（A∪B），得到不等式2x²+mx-1≤0的解集是[-1，1]的子集．利用二次方程根的方布得出关于m的不等关系，从而求出m的取值范围；
（2）利用绝对值不等式的性质得出|f（x）|=|2x²-1+mx|≤|2x²-1|+|mx|≤-（2x²-1）+|x|再结合二次函数的性质即可得到证明．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质、不等式的解法、交、并、补集的混合运算等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．