Question

已知f(x)＝x2＋ax＋b(a、b∈R)，∈［－1，1］． (1) 记｜f(x)｜的最大值为M，求证：M≥ (2) 求出M＝时f(x)的表达式

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解析：证法一　f(x)＝x2＋ax＋b的顶点坐标是． 　　①若＞1，则M应是｜f(－1)｜和｜f(1)｜中最大的一个．而｜f(－1)｜＋｜f(1)｜≥｜f(－1)＋f(1)｜≥｜f(1)－f(－1)｜＝｜2a｜＞4，∴｜f(－1)｜，｜f(1)｜中必有一个大于等于． 　　②若≤1，则M应是｜f(－1)｜，｜f(1)｜，中最大的一个． 　　(i)当b≥－时，｜f(1)｜＋｜f(－1)｜≥｜f(1)＋f(－1)｜＝｜2＋2b｜≥1， 　　∴在｜f(1)｜，｜f(－1)｜中，必有一个大于等于 　　(ii)当b＜－时，△＝a2－4b＞0，＝－b≥－b＞，∴必有M＞．综上所述，M≥总成立． 　　证法二：∵M≥｜f(0)｜，M≥｜f(1)｜，M≥｜f(－1)｜，∴4M≥2｜f(0)｜＋｜f(1)｜＋｜f(－1)｜≥｜f(1)＋f(－1)－2f(0)｜＝2，即得M≥． 　　证法三：用反证法．假设M＜，即－＜x2＋ax＋b＜(－1≤x≤1)，得 　　－－(x2－)＜x2＋ax＋b－(x2－)＜－(x2－)，即－x2＜ax＋b＋＜1－x2． 　　取x＝1，得a＋b＋＜0，同理，有－a＋b＋＜0，得b＋＜0．又x＝0时，b＋＞0，矛盾．故M≥． 　　点评：本题有三种证法，证法一是基本方法，从二次函数图象入手，分类讨论；证法二通过函数值的联系并运用绝对值不等式，灵活性较大，技巧性较强；证法三运用反证法，并注意用函数值。

(2)

∵M≥｜f(0)｜，M≥｜f(1)｜，M≥｜f(－1)｜，又M＝，∴∴∴b＝－，代入上式得 　　－≤1＋a＋(－)≤，∴－1≤a≤0． 　　又－≤1－a＋(－)≤，0≤a≤1，∴a＝0，f(x)＝x2－． 　　点评：本题采用“两边夹”的方法．说明b＝－，a＝0，从而求出f(x)．