题目内容
已知函数f（x）=lg(x+
)+x，如果f（1-a）+f（1-a2）＜0，则a的取值范围是 ．
| x2+1 |
分析：先判断f（x）的奇偶性、单调性，然后利用函数f（x）的性质去掉不等式中的符号“f”，从而转化为具体不等式求解．
解答：解：f（x）的定义域为R，关于原点对称，
又f（-x）+f（x）=[lg(-x+
)-x]+[lg(x+
)+x]=lg（-x+
）（x+
）=lg1=0，
∴f（-x）=-f（x），即f（x）为奇函数，
∵x+
单调递增，∴lg（x+
）单调递增，lg（x+
）+x单调递增，
∴f（x）在定义域R上单调递增，
∴f（1-a）+f（1-a2）＜0，化为f（1-a）＜-f（1-a2）=f（a2-1），
又f（x）在R上单调递增，
∴1-a＜a2-1，即a2+a-2＞0，解得a＜-2，或a＞1，
故答案为：a＜-2，或a＞1．
又f（-x）+f（x）=[lg(-x+
| x2+1 |
| x2+1 |
| x2+1 |
| x2+1 |
∴f（-x）=-f（x），即f（x）为奇函数，
∵x+
| x2+1 |
| x2+1 |
| x2+1 |
∴f（x）在定义域R上单调递增，
∴f（1-a）+f（1-a2）＜0，化为f（1-a）＜-f（1-a2）=f（a2-1），
又f（x）在R上单调递增，
∴1-a＜a2-1，即a2+a-2＞0，解得a＜-2，或a＞1，
故答案为：a＜-2，或a＞1．
点评：本题主要考查了函数单调性的应用，以及函数的奇偶性的应用，属于中档题．
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