Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据F在AP的垂直平分线上，知|PF|=|FA|．|FA|=

a2

c

-c=

b2

c

，|PF|∈[a-c，a+c]，所以

b2

c

∈[a-c，a+c]，从而求出离心率

c

a

的取值范围．

解答：解：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，
即F点到P点与A点的距离相等，
而|FA|=

a2

c

-c=

b2

c

，|PF|∈[a-c，a+c]
于

b2

c

∈[a-c，a+c]，即ac-c²≤b²≤ac+c²，

ac-c2≤a2-c2 a2-c2≤ac+c2

?

c a ≤1 c a ≤ -1或 c a ≥ 1 2

，又e∈（0，1），故e∈[

1

2

，1)
故答案为：[

1

2

，1)

点评：本题考查了椭圆的一些基本性质，|PF|=|FA|，以及|PF|的范围是解决此题的关键．