Question

13．某中学为了落实“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．
（1）试用x表示S，并求S的取值范围；
（2）若在矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪．已知：矩形AMPN健身场地每平方米的造价为$\frac{37k}{{\sqrt{S}}}$，草坪的每平方米的造价为$\frac{12k}{{\sqrt{S}}}$（k为正常数）．设总造价T关于S的函数为T=f（S），试问：如何选取|AM|的长，才能使总造价T最低．

Answer 1

分析 （1）根据题意，分析可得，欲求健身场地占地面积，只须求出图中矩形的面积即可，再结合矩形的面积计算公式求出它们的面积即得，最后再根据二次函数的性质得出其范围；
（2）对于（1）所列不等式，考虑到其中两项之积为定值，可利用基本不等式求它的最大值，从而解决问题．

解答 解：（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30-x，∠PCM=60°，
∴$|PM|=|MC|•tan∠PCM=\sqrt{3}（30-x）$，…（2分）
矩形AMPN的面积$S=|PM|•|MC|=\sqrt{3}x（30-x）$，x∈[10，20]…（4分）
于是$200\sqrt{3}≤S≤225\sqrt{3}$为所求．…（6分）
（2）矩形AMPN健身场地造价T₁=$37k\sqrt{S}$…（7分）
又△ABC的面积为$450\sqrt{3}$，即草坪造价T₂=$\frac{12k}{{\sqrt{S}}}（450\sqrt{3}-S）$，…（8分）
由总造价T=T₁+T₂，∴$T=25k（\sqrt{S}+\frac{{216\sqrt{3}}}{{\sqrt{S}}}）$，$200\sqrt{3}≤S≤225\sqrt{3}$．…（10分）
∵$\sqrt{S}+\frac{{216\sqrt{3}}}{{\sqrt{S}}}≥12\sqrt{6\sqrt{3}}$，…（11分）
当且仅当$\sqrt{S}=\frac{{216\sqrt{3}}}{{\sqrt{S}}}$即$S=216\sqrt{3}$时等号成立，…（12分）
此时$\sqrt{3}x（30-x）=216\sqrt{3}$，解得x=12或x=18，
所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．…（14分）

点评 本小题主要考查函数模型的选择与应用、基本不等式的应用、矩形的面积等基础知识，属于中档题．