Question

已知正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱长为2，P、Q分别是BC、CD上的动点，且|PQ|=，建立如图所示的坐标系;

(1)确定P、Q的位置，使得B₁Q⊥D₁P;

(2)当B₁Q⊥D₁P时，求二面角C₁-PQ-A的正切.

Answer 1

解：(1)设BP=t, 则,,

∴B₁(2, 0, 2), D₁(0, 2, 2), P(2, t, 0),.

∴,

=(-2, 2-t, 2).

∵B₁Q⊥D₁P等价于,

即,

即.解得t=1.

此时, P、Q分别是棱BC、CD的中点, 即当P、Q分别是棱BC、CD的中点时, B₁Q⊥D₁P.

(2)当B₁Q⊥D₁P时, 由(1)知, P、Q分别是棱BC、CD的中点, 在正方形ABCD中, PQ∥BD, 且AC⊥BD, 故AC⊥PQ.

设AC与PQ的交点为E, 连结C₁E.在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中, CC₁⊥底面ABCD, CE是C₁E在底面ABCD内的射影,

∴C₁E⊥PQ, 即∠C₁EC是二面角C₁PQC的平面角, ∠C₁EA是二面角C₁-PQ-A的平面角.

在正方形ABCD中,；

在Rt△C₁EC中,.

∴二面角C₁—PQ—A的正切为.