题目内容
已知圆O：x2+y2=8交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，直线
：x=-4为准线的椭圆。
：x=-4为准线的椭圆。
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若M是直线
上的任意一点，以OM为直径的圆K与圆O相交于P，Q两点，求证：直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；
（Ⅲ）如图所示，若直线PQ与椭圆C交于G，H两点，且
，试求此时弦PQ的长。
（Ⅱ）若M是直线
上的任意一点，以OM为直径的圆K与圆O相交于P，Q两点，求证：直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；（Ⅲ）如图所示，若直线PQ与椭圆C交于G，H两点，且
，试求此时弦PQ的长。 解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为
，
则：
，从而：
，故b=2，
所以椭圆的标准方程为
。
（Ⅱ）设M（-4，m），则圆K的方程为
与圆O：
联立消去
得PQ的方程为4x-my+8=0，过定点E（-2，0）。
（Ⅲ）设
，则
，………①
，
∴
，即：
，
代入①解得：
（舍去正值），
∴
，所以PQ：x-y+2=0，
从而圆心O（0，0）到直线PQ的距离
，
从而
。
，则：
，从而：，故b=2，所以椭圆的标准方程为
。（Ⅱ）设M（-4，m），则圆K的方程为
与圆O：联立消去得PQ的方程为4x-my+8=0，过定点E（-2，0）。（Ⅲ）设
，则，………① ，∴
，即：，代入①解得：
（舍去正值），∴
，所以PQ：x-y+2=0， 从而圆心O（0，0）到直线PQ的距离
，从而
。
练习册系列答案
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