题目内容
在△ABC中，H为垂心，G为重心，O为外心，求证：| HG |
| GO |
分析：分析：根据题意作出图形，由外心和垂心的性质证明四边形AHCD是平行四边形，由向量加法的三角形法则得
=
+
，由向量相等和向量的减法运算进行转化，得到
+
+
=
，再根据△ABC重心为G满足
+
+
=
，结合已知中
+
+
=
，我们易判断出
=3
，根据数乘向量的几何意义，即可得到O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2即可．
| OH |
| OA |
| AH |
| OA |
| OB |
| OC |
| OH |
| GA |
| GB |
| GC |
| 0 |
| OA |
| OB |
| OC |
| OH |
| OH |
| OG |
解答：解答：
解：如图：作直径BD，连接DA、DC，
由图得，
=-
，
∵H为△ABC的垂心，∴CH⊥AB，AH⊥BC，
∵BD为直径，∴DA⊥AB，DC⊥BC
∴CH∥AD，AH∥CD，故四边形AHCD是平行四边形，∴
=
又∵
=
-
=
+
，
∴
=
+
=
+
=
+
+
，
∵G为△ABC的重心
∴
+
+
=(
+
)+(
+
)+(
+
)=3
+
+
+
=3
+
=
即
=3
即O，G，H三点共线，且OH=3OG
即O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2．
从而得到：
=2
．
解：如图：作直径BD，连接DA、DC，由图得，
| OB |
| OD |
∵H为△ABC的垂心，∴CH⊥AB，AH⊥BC，
∵BD为直径，∴DA⊥AB，DC⊥BC
∴CH∥AD，AH∥CD，故四边形AHCD是平行四边形，∴
| AH |
| DC |
又∵
| DC |
| OC |
| OD |
| OC |
| OB |
∴
| OH |
| OA |
| AH |
| OA |
| DC |
| OA |
| OB |
| OC |
∵G为△ABC的重心
∴
| GA |
| GB |
| GC |
| GO |
| OA |
| GO |
| OB |
| GO |
| OC |
| GO |
| OA |
| OB |
| OC |
| GO |
| OH |
| 0 |
即
| OH |
| OG |
即O，G，H三点共线，且OH=3OG
即O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2．
从而得到：
| HG |
| GO |
点评：点评：本题考查的知识点是三角形的五心，其中熟练掌握向量五心的向量表达式形式，如（1）中△ABC外心为O满足 |
|=|
|=|
|，（2）中△ABC重心为G满足
+
+
=
，是解答此类问题的关键．
| OA |
| OB |
| OC |
| GA |
| GB |
| GC |
| 0 |
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如图所示在△ABC中，sin2A+sin2C=sin2B+sinA．sinC
．
