Question

已知函数f(x)=

lnx

x

，g(x)=

3

8

x2-2x+2+xf(x)．
（Ⅰ）求函数y=g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=g（x）在[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零点，求n的最大值；

Answer 1

分析：（1）令g′（x）＞0，得到g（x）的单调增区间；令g′（x）＜0，得到g（x）的单调减区间．
（2）容易求得g（x）在[

2

3

，+∞]的最小值为g（2）大于0，若g（x）在[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零点，只能在（0，

2

3

）上存在零点，故只须令eⁿ＜

2

3

且g（eⁿ）≤0，找到n的最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）由题知：g（x）=

3

8

x²-2x+2+lnx的定义域为（0，+∞）
g/(x)=

(3x-2)(x-2)

4x

当g′（x）＞0，即0＜x＜

2

3

或x＞2时，函数g（x）为增函数；
当g′（x）＜0，即

2

3

＜x＜2时，函数g（x）为减函数．
所以，g（x）的单调递增区间为（0，

2

3

）∪（2，+∞），单调递减区间为（

2

3

，2）
（Ⅱ）∵g（x）在（2，+∞）上为增函数，在（

2

3

，2）上为减函数，
∴g（x）在x∈[

2

3

，+∞)上的最小值为g（2）
且g（2）=

3

8

×22-4+2+ln2=ln2-

1

2

=

ln4-1

2

＞0
∴g（x）在x∈[

2

3

，+∞)上没有零点，
∴要想使函数g（x）在[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零点，并考虑到g（x）在（0，

2

3

）单调递增且在（

2

3

，2）单调递减，故只须en＜

2

3

且g（eⁿ）≤0即可，
易验证g(e-1)=

3

8

•e-2-2•e-1+1＞0，g(e-2)=

3

8

•

1

e4

-

2

e2

+2+lne-2=

1

e2

(

3

8

•

1

e2

-2)＜0，
根据g（x）在（0，

2

3

）为单调递增函数，当n≤-2且n∈Z时均有g（eⁿ）≤g（e^-2）＜0，
即函数g（x）在[eⁿ，e^-1]?[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零点
∴n的最大值为-2．

点评：本题较好，是关于函数的综合题，主要考查函数的单调性、最值、零点等函数的基本知识，应熟练掌握．