Question

设数列{a_n}的前n项的和为S_n，已知

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

n

n+1

，设bn=(

1

2

)an若对一切n∈N^*均有

n

k=1

bk∈(

1

m

，m2-6m+

16

3

)，则实数m的取值范围为

m＜0或m≥5

．

Answer 1

分析：依题意，可求得a_n与b_n，从而可求得

n

k=1

b_k=

1-( 1 4 )n

3

∈[

1

4

，

1

3

），利用[

1

4

，

1

3

）⊆（

1

m

，m²-6m+

16

3

）即可求得实数m的取值范围．

解答：解：∵

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

n

n+1

，①
∴当n≥2时，

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn-1

=

n-1

n

，②
∴①-②得：

1

Sn

=

n

n+1

-

n-1

n

=

1

n(n+1)

，
∴S_n=n（n+1）（n≥2）．
当n=1时，

1

S1

=

1

1+1

=

1

2

，
∴a₁=2，符合S_n=n（n+1）（n≥2）．
∴S_n=n（n+1）．
∴可求得a_n=2n．
∴b_n=(

1

2

)an=(

1

2

)2n=(

1

4

)n．
∵

bn+1

bn

=

1

4

，b₁=

1

4

，
∴{b_n}是以

1

4

为首项，

1

4

为公比的等比数列．
∴

n

k=1

b_k=

1 4 ×[1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

1-( 1 4 )n

3

∈[

1

4

，

1

3

），
∵

n

k=1

b_k∈（

1

m

，m²-6m+

16

3

），
∴[

1

4

，

1

3

）⊆（

1

m

，m²-6m+

16

3

），
即

1 m ＜ 1 4 m2-6m+ 16 3 ≥ 1 3

，
解得：m＜0或m≥5．
故答案为：m＜0或m≥5．

点评：本题考查求数列的通项与数列求和，突出考查集合间的包含关系与解不等式组的能力，综合性强，难度大，属于难题．