Question

求以两圆C₁:x²+y²+4x+y+1=0及圆C₂:x²+y²+2x+2y+1=0的公共弦为直径的圆的方程.

Answer 1

思路解析：两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程,而所求的圆又过两圆的交点,所以还可以使用圆系方程.

解：两圆的方程相减,得2x-y=0,即两圆公共弦所在直线的方程,显然圆C₂的圆心(-1,-1)不在此直线上,故可设所求圆的方程为x²+y²+4x+y+1+λ(x²+y²+2x+2y+1)=0,整理可得(1+λ)x²+(1+λ)y²+2(2+λ)x+(1+2λ)y+1+λ=0.

其圆心O的坐标为(-,-).

因为点O在直线2x-y=0上,所以-=0,即2λ+7=0.

所以λ=-.

故所求圆的方程为-x²-y²-3x-6y-=0.

整理即得x²+y²++1=0.