Question

（2013•永州一模）已知在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为

x=2cosα y=1+2sinα

（α为参数），与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρsin(θ-

π

3

)=1，则圆C截直线l所得的弦长为

4

．

Answer 1

分析：化圆的参数方程为直角坐标方程，化直线的极坐标方程为直角坐标方程，由圆心到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，则圆C截直线l所得的弦长可求．

解答：解：由

x=2cosα y=1+2sinα

，得

x=2cosα① y-1=2sinα②

①²+②²得x²+（y-1）²=4．
所以圆是以C（0，1）为圆心，以2为半径的圆．
又由2ρsin(θ-

π

3

)=1，得2ρ(sinθcos

π

3

-cosθsin

π

3

)=1．
即ρsinθ-

3

ρcosθ=1．
所以直线l的直角坐标方程为

3

x-y+1=0．
所以圆心C到直线l的距离为d=

| 3 ×0-1×1+1|

( 3 )2+(-1)2

=0．
则直线l经过圆C的圆心，圆C截直线l所得的弦长为4．
故答案为4．

点评：本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标化直角坐标，考查了直线与圆的位置关系，是基础题．