题目内容

已知函数 $数学公式$ ， $数学公式$ ，x∈（0，+∞）．
（1）求m的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

解：（1）∵函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，x∈（0，+∞），
∴2- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得 m=1．------（2分）
（2）由于 m=1，故f（x）=x- $\text{[math]}$ ．
设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）=（x₁- $\text{[math]}$ ）-（x₂- $\text{[math]}$ ）=（x₁-x₂ ）（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）------（4分）
= $\text{[math]}$ ．-------（6分）
∵x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
∴ $\text{[math]}$ ＞0，可得 $\text{[math]}$ ，-----（8分）
所以f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．-----------（10分）
分析：（1）由 $\text{[math]}$ 可得 2- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此解得m的值．
（2）f（x）=x- $\text{[math]}$ ，设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，化简 f（x₁）-f（x₂）并判断符号，从而判断函数的单调性．
点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明方法，其中判断f（x₁）-f（x₂）的符号是解题的关键，属于中档题．