题目内容
（2013•徐汇区一模）函数f(x)=
在区间（0，+∞）上单调递增，那么实数a的取值范围是（ ）
| ax2-1 |
| x |
分析：先求函数f(x)=
的导数，根据函数的增区间上导数大于0，可知，若函数f(x)=
在区间（0，+∞）上单调递增，则x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，再通过分类讨论a为何值时f′（x）＞0恒成立即可求出a的范围．
| ax2-1 |
| x |
| ax2-1 |
| x |
解答：解：f′（x）=
=
，
∵函数f(x)=
在区间（0，+∞）上单调递增，∴当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立．
即当x∈（0，+∞）时，ax2+1＞0恒成立，
当a＞0时，y=ax2+1的图象为开口向上，最低点为（0，1）的抛物线，∴当x∈（0，+∞）时，ax2+1＞0恒成立．
当a=0时，1＞0恒成立．
当a＜0时，y=ax2+1的图象为开口向下，最高点为（0，1）的抛物线，∴当x∈（0，+∞）时，ax2+1＞0不恒成立．
∴实数a的取值范围是a≥0，
故选A
| 2ax2-ax2+1 |
| x2 |
| ax2+1 |
| x2 |
∵函数f(x)=
| ax2-1 |
| x |
即当x∈（0，+∞）时，ax2+1＞0恒成立，
当a＞0时，y=ax2+1的图象为开口向上，最低点为（0，1）的抛物线，∴当x∈（0，+∞）时，ax2+1＞0恒成立．
当a=0时，1＞0恒成立．
当a＜0时，y=ax2+1的图象为开口向下，最高点为（0，1）的抛物线，∴当x∈（0，+∞）时，ax2+1＞0不恒成立．
∴实数a的取值范围是a≥0，
故选A
点评：本题主要考查函数的单调性与导数之间的关系，在函数的单调增区间上导数大于0恒成立．
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