Question

【题目】已知函数是上的偶函数．

（1）求实数的值；

（2）判断并证明函数在上单调性；

（3）求函数在上的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）最大值为1，最小值为.

【解析】试题分析：（1）依据偶函数的定义建立方程求出实数的值；（2）先判断其单调性，然后再运用单调性的定义及差比法进行推理和证明；（3）借助（2）中的单调性及函数的对称性进行推断和探求最大、小值。

试题解析：

（1）若函数是上的偶函数，则，

即，对任意实数恒成立，解得.

（2）由（1）得：，

函数在上为增函数，下证明：

设任意且，即

则

∵且，

∴，即，

于是函数在上为增函数.

（3）由（2）知，函数在上为增函数，

又是偶函数，则在上为减函数，

又，，，

所以的最大值为1，最小值为．