Question

如图5，在直角梯形ABCP中，AP//BC，APAB，AB=BC=，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将沿CD折起，使得平面ABCD, 如图6.

（Ⅰ）求证：AP//平面EFG；

 (Ⅱ) 求二面角的大小；

（Ⅲ）求三棱椎的体积.

 

Answer 1

；

解析:

(Ⅰ) 证明:方法一)连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO.

∵E,F分别为PC,PD的中点,∴//,同理//, //    

四边形EFOG是平行四边形, 平面EFOG.

又在三角形PAC中,E,O分别为PC,AC的中点,PA//EO

平面EFOG,PA平面EFOG,

PA//平面EFOG,即PA//平面EFG.

方法二) 连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO.

∵E,F分别为PC,PD的中点,∴//,同理//

又//AB,//

平面EFG//平面PAB,

又PA平面PAB,平面EFG. ……6分

方法三)如图以D为原点,以

为方向向量建立空间直角坐标系.

则有关点及向量的坐标为:

设平面EFG的法向量为

     取.

∵,

又平面EFG. AP//平面EFG.

(Ⅱ)由已知底面ABCD是正方形

,又∵面ABCD  

又平面PCD,

向量是平面PCD的一个法向量, = 

又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量为 

 

结合图知二面角的平面角为 

(Ⅲ)