Question

△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若

a-c

b-c

=

sinB

sinA+sinC

．
（1）求角A；
（2）若f（x）=cos²（x+A）-sin²（x-A），求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）由

a-c

b-c

=

sinB

sinA+sinC

，得

a-c

b-c

=

b

a+c

，即a²=b²+c²-bc，由余弦定理，得cosA=

1

2

，可得A的值．
（2）化简f（x）=-

1

2

cos2x，由 2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），求得f（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）由

a-c

b-c

=

sinB

sinA+sinC

，得

a-c

b-c

=

b

a+c

，即a²=b²+c²-bc，由余弦定理，得cosA=

1

2

，
∴A=

π

3

．
（2）f（x）=cos²（x+A）-sin²（x-A）=cos2(x+

π

3

)-sin2(x-

π

3

)=

1+cos(2x+ 2π 3 )

2

-

1-cos(2x- 2π 3 )

2

=-

1

2

cos2x．
由2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），得kπ≤x≤kπ+

π

2

(k∈Z)，
故f（x）的单调递增区间为[kπ，kπ+

π

2

]，k∈Z．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，利用余弦函数的单调性，求出角A的值，是解题的关键．