Question

如图所示，正四棱锥P-ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为

6

2

．
（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；
（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；
（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）取AD中点M，设PO⊥面ABCD，连MO、PM，则∠PMO为二面角的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角，tan∠PAO=

6

2

，
设AB=a，AO=

2

2

a，PO=AO•tan∠POA=

3

2

a，tan∠PMO=

PO

MO

=

3

∴∠PMO=60°．
（2）连OE，OE∥PD，∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．

AO⊥BD AO⊥PO ⇒AO⊥平面PBD OE?平面PBD

⇒AO⊥OE．
∵OE=

1

2

PD=

1

2

PO2+DO2

=

5

4

a
∴tan∠AEO=

AO

EO

=

2 10

5

（3）延长莫MO交BC于N，取PN中点G，连EG、MG．

BC⊥MN BC⊥PN

⇒BC⊥平面PMN⇒平面PMN⊥平面PBC．
又

PM=PN ∠PMN=60° ⇒△PMN为正△⇒MG⊥PN 平面PMN∩平面PBC=PN

⇒MG⊥平面PBC
取AM中点F，∵EG∥MF∴MF=

1

2

MA=EG
∴EF∥MG．
∴EF⊥平面PBC．
即F为四等分点