Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2

5

．
（1）求证：BD⊥平面PAD；
（2）求三棱锥A-PCD的体积．

Answer 1

分析：（1）在△ABD中，推出AD⊥BD．通过平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，证明BD⊥平面PAD．
（2）过P作PO⊥AD交AD于O．说明PO⊥平面ABCD．在 Rt△ABD中，求出斜边AB边上的高为h=

AD×BD

AB

=

4 5

5

，求出S_△ACD．然后求出V_A-PCD=V_P-ACD

解答：（1）证明：在△ABD中，由于AD=2，BD=4，AB=2

5

，
∴AD²+BD²=AB²∴AD⊥BD．（2分）
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD．（5分）
（2）解：过P作PO⊥AD交AD于O．
又平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．（7分）
∵△PAD是边长为2的等边三角形，
∴PO=

3

．由（1）知，AD⊥BD，在 Rt△ABD中，
斜边AB边上的高为h=

AD×BD

AB

=

4 5

5

．（9分）
∵AB∥DC，∴S△ACD=

1

2

CD×h=

1

2

×

5

×

4 5

5

=2．
∴VA-PCD=VP-ACD=

1

3

S△ACD×PO=

1

3

×2×

3

=

2 3

3

．（12分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．