Question

如图,已知长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁,AB=2,AA₁=1,直线BD与平面AA₁B₁B所成的角为30°,AE垂直BD于点E,F为A₁B₁的中点.

(1)求异面直线AE与BF所成的角;

(2)求平面BDF与平面AA₁B所成二面角(锐角)的大小;

(3)求点A到平面BDF的距离.

Answer 1

解:在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AA₁所在直线为z轴建立空间直角坐标系如下图.

    由已知AB=2,AA₁=1,可得A(0,0,0)、B(2,0,0)、F(1,0,1).

    又AD⊥平面AA₁B₁B,从而BD与平面AA₁B₁B所成的角即为∠DBA=30°.

    又AB=2,AE⊥BD,AE=1,AD=，

    从而易得E(,,0)、D(0,,0).

(1)∵=(,,0),=(-1,0,1),

∴cos〈,〉===-.

    故异面直线AE、BF所成的角为arccos.

(2)易知平面AA₁B的一个法向量m=(0,1,0).

    设n=(x,y,z)是平面BDF的一个法向量,=(-2,,0).

    由

取n=(1,,1),

∴cos〈m,n〉=,

    即平面BDF与平面AA₁B所成二面角(锐角)的大小为arccos.

(3)点A到平面BDF的距离d,即在平面BDF的法向量n上的投影长.

d=||·cos〈,n〉

=|||·=

==.

    故点A到平面BDF的距离为.