Question

设数列{a_n}满足a_n+1=a_n²-na_n+1,n=1,2,3,…,

(1)当a₁=2时,求a₂,a₃,a₄并猜想a_n的一个通项公式;

(2)当a₁≥3时,证明对所有的n≥1,有

①a_n≥n+2;

②++…+≤.

Answer 1

(1)解：由a₁=2,得a₂=a₁²-a₁+1=3;?

由a₂=3,得?a₃²=a₂²-2a₂+1=4?;?

由a₃=4,得a₄=a₃²-3a₃+?1=5?.?

因此猜想a_n的一个通项公式:a_n=n+1(n≥1).?

(2)证明：①用数学归纳法证明:?

当n=1时，a₁≥3=1+2,不等式成立.?

假设当n=k时不等式成立，即a_k≥k+2,那么a_k+1=a_k(a_k-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3,?

也就是说，当n=k+1时，a_k+1≥(k+1)+2.?

因此对于所有n≥1，有a_n≥n+2.?

②由a_n+1=a_n(a_n-n)+1及①，对k≥2，有

a_k=a_k-1(a_k-1-k+1)+1≥a_k-1(k-1+2-k+1)+1=2a_k-1+1≥2(a_k-2+1)+1=2²a_k-2+2+1≥2²2a_k-3+1+2+1=2³a_k-3+2²+2+1≥….

∴a_k≥2^k-1a₁+2^k-2+…+2+1=2^k-1(a₁+1)-1.?

于是≤·,k≥2.?

≤+≤≤=.