Question

已知直线L：y=x+1与曲线C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞1，b＞0)交于不同的两点A、B，O为坐标原点．
（1）若|OA|=|OB|，试探究在曲线C上仅存在几个点到直线L的距离恰为a-

2

2

？并说明理由；
（2）若OA⊥OB，且a＞b，a∈[

6

2

，

10

2

]，试求曲线C的离心率e的取值范围．

Answer 1

分析：（1）在曲线C上存在3个点到直线L的距离恰为a-

2

2

．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由|OA|=|OB|得|OA|²=|OB|²，所以x₁+x₂=-1，由此能求出结果．
（2）因为a＞b，所以曲线C为焦点在x轴上的椭圆，由OA⊥OB，O

A

•O

B

=0，所以x₁x₂+y₁y₂=0，由y₁=x₁+1，y₂=x₂+1，知2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=0，由此能求出曲线C的离心率e的取值范围．

解答：解：（1）在曲线C上存在3个点到直线L的距离恰为a-

2

2

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由|OA|=|OB|得|OA|²=|OB|²，（2分）
又点A，B在直线L上，得y₁=x₁+1，y₂=x₂+1，
代入上式化简得（x₁-x₂）（x₁+x₂+1）=0（4分）
由x₁≠x₂，∴x₁+x₂=-1，
由

y=x+1 x2 a2 + y2 b2 =1

，得(a2+b2)x2+2a2x+a2-a2b2=0（6分）
所以x1+x2=-

2a2

a2+b2

=-1，
于是a²=b²，这时曲线C表示圆x²+y²=a²，
O到直线L的距离d=

1

2

=

2

2

，
故曲线C上仅存在3个点到直线L的距离恰为a-

2

2

．（8分）
（2）因为a＞b，所以曲线C为焦点在x轴上的椭圆
由OA⊥OB，O

A

•O

B

=0，所以x₁x₂+y₁y₂=0，
又y₁=x₁+1，y₂=x₂+1，∴2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=0（9分）
由（1）得x1+x2=-

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2-a2b2

a2+b2

，
代入上式整理得a²+b²=2a²b²，
a2+a2-c2-2a2(a2-c2)=0，c2=

2a2(a2-1)

2a2-1

，
e2=

c2

a2

=

2(a2-1)

2a2-1

=1-

1

2a2-1

，a∈[

6

2

，

10

2

]，
得e∈[

2

2

，

3

2

]
而△=（2a²）²-4（a²+b²）（a²-a²b²）=4a²b²（a²+b²-1）＞0，
∴e∈[

2

2

，

3

2

]．（12分）

点评：本题考查满足条件的点的个数的探索，考查离心率的取值范围的求法，考查推理论证能力，考查推导计算能力，考查等价转化思想，考查分类讨论思想．